そっくりそのまま移行する場合は、システム　→　バックアップ管理でリストアする方法があるようです。
（私は実際に試していません）

■リストアの方法
(1) 適当にバックアップファイルを作成
(2) 旧サイトでダウンロードしたバックアップファイルのファイル名をその名前に変更
(3) /data/downloads/backup/にアップロード

これなら、データベースをいじらなくていいので安心ですね。
※ただしこの場合は、バックアップ一覧に表示される作成日と実際の作成日が異なるようです。
参考サイト：http://pentan.info/php/eccube/backup.html（ぺんたんinfo）

今回、リニューアルのため、そっくりそのまま移転するわけではないので、リストアすることはできません。
そのため、顧客情報と受注情報の、データベースを移行することにしました。

移行する項目は、リニューアル内容や、移行後の運用にもよると思いますが、
私は、下記のテーブルを移行しました。

■顧客情報関連
dtb_customer（会員情報）
dtb_customer_customer_id_seq
dtb_customer_favorite_products（お気に入り）
dtb_review（お客様の声）

■メール関連
dtb_mail_history（お客様にお送りしたメール）
dtb_mail_history_send_id_seq
dtb_mailtemplate（メールテンプレート）
※新サイトで新しいメールテンプレートを使う場合は、マイページで過去のメールを閲覧する事を考えると、旧サイトのメールテンプレートが必要）

■受注関連
dtb_order
dtb_order_order_id_seq
dtb_order_detail
dtb_order_detail_order_detail_id_seq
dtb_order_temp
dtb_other_deliv
dtb_other_deliv_other_deliv_id_seq
dtb_shipment_item
dtb_shipping

（お詫び）
支払い方法(dtb_payment)、配送方法(dtb_deliv, dtb_delivfee, dtb_delivtime)、mtb_order_statusが、移行元と移行先で違っている場合、購入履歴でエラーが発生しました。（2015.07.17）

注）
移行元と移行先のテーブルのカラム名・カラム数がまったく同じでないとインポートできません。
この場合、移行元に足りないカラムを作成してからエクスポート、または、移行先に足りないカラムを作成してからインポートし、その後に不要なカラムを削除することで移行できました。
また移行先のテーブルを空にしてからインポートしてください。